Sabtu, 16 November 2013

Sifat Sifat Integral Tak Tentu
UnknownSabtu, 16 November 2013 0 komentar


Integral tak tentu mempunyai rumus umum:
\int F(x) dx = F(x) + c
Keterangan:
  • c : konstanta

Pengintegralan standar

Jika  f(x) = a  maka:
\int a \operatorname{d}x = ax + c
Jika  f(x) = ax^n  maka:
\int ax^n \operatorname{d}x = (\frac {ax^{n+1}} {n+1}) + c
Jika  f(x) = (ax + b)^n  maka:
\int (ax+b)^n \operatorname{d}x = (\frac {(ax+b)^{n+1}} {a(n+1)}) + c

Pengintegralan khusus

\int \frac 1 x\ dx = \ln|x| + k
\int \frac {f'(x)} {f(x)} dx = \ln f(x)+ k
\int \frac 1 x\ dx = \ln|x| + k

Sifat-sifat

  • \int a f(x) \operatorname{d}x = a \int f(x) \operatorname{d}x + k
  • \int (f(x) \pm g(x)) \operatorname{d}x = \int f(x) \operatorname{d}x \pm \int g(x) \operatorname{d}x

Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:
\int_a^b F(x) dx = F(b) - F(a)
Keterangan:
  • konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.

Integral trigonometri

  • \int \sin(ax) \ dx = - \frac 1 a \ \cos(ax) + k
  • \int \cos(ax) \ dx = \frac 1 a \ \sin(ax) + k
  • \int \sec(ax) \ tan(ax) \ dx = \frac 1 a \ \sec(ax) + k
  • \int \sec^2(ax) \ dx = \frac 1 a \ \tan(ax) + k
  • \int \csc^2(ax) dx = - \frac {1} {a}\ \cot(ax) + k
  • \int \csc(ax) \ \cot(ax) dx = -\frac {1} {a} \ \csc(ax) + k
  • \int \cos(ax+b) dx = \frac {1}{a} \ \sin(ax+b) + k
  • \int \sin(ax+b) dx = -\frac {1}{a} \ \cos(ax+b) + k
  • \int \sec^2(ax+b) dx = \frac {1}{a} \ \tan(ax+b) + k
  • \int \sec(x) dx = \ln \left\vert \sec(x) + tan(x) \right\vert + k
  • \int \csc(x) dx = -\ln \left\vert \csc(x) + cot(x) \right\vert + k
  • \int \tan(x) dx = -\ln \left\vert \cos(x) \right\vert + k
  • \int \tan(x) dx = \ln \left\vert \sec(x) \right\vert + k
  • \int \cot(x) dx = \ln \left\vert \sin(x) \right\vert + k
  • \int \cot(x) dx = -\ln \left\vert \csc(x) \right\vert + k
Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:
\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,
\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,
2 \sin A \times \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B),
2 \cos A \times \sin B = \sin (A + B) - \sin (A - B),
2 \cos A \times \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B),
2 \sin A \times \sin B = - \sin (A + B) + \cos (A - B),

Substitusi trigonometri

Integral yang mengandung a2 − x2

Pada integral
\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
kita dapat menggunakan
x=a\sin(\theta),\quad dx=a\cos(\theta)\,d\theta, \quad \theta=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)
\begin{align} \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} & = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2(\theta)}} = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2(1-\sin^2(\theta))}} \\[8pt] & = \int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}} = \int d\theta=\theta+C=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+C \end{align}
Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos(θ) > 0;

Integral yang mengandung a2 + x2

Pada integral
\int\frac{dx}{{a^2+x^2}}
kita dapat menuliskan
x=a\tan(\theta),\quad dx=a\sec^2(\theta)\,d\theta
\theta=\arctan\left(\frac{x}{a}\right)
maka integralnya menjadi
\begin{align} & {} \qquad \int\frac{dx}{{a^2+x^2}} = \int\frac{a\sec^2(\theta)\,d\theta}{{a^2+a^2\tan^2(\theta)}} = \int\frac{a\sec^2(\theta)\,d\theta}{{a^2(1+\tan^2(\theta))}} \\[8pt] & {} = \int \frac{a\sec^2(\theta)\,d\theta}{{a^2\sec^2(\theta)}} = \int \frac{d\theta}{a} = \frac{\theta}{a}+C = \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C \end{align}
(syarat: a ≠ 0).

Integral yang mengandung x2 − a2

Pada integral
\int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx
dapat diselesaikan dengan substitusi:
x = a \sec(\theta),\quad dx = a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta
\theta = \arcsec\left(\frac{x}{a}\right)
\begin{align} & {} \qquad \int\sqrt{x^2 - a^2}\,dx = \int\sqrt{a^2 \sec^2(\theta) - a^2} \cdot a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta \\ & {} = \int\sqrt{a^2 (\sec^2(\theta) - 1)} \cdot a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta = \int\sqrt{a^2 \tan^2(\theta)} \cdot a \sec(\theta)\tan(\theta)\,d\theta \\ & {} = \int a^2 \sec(\theta)\tan^2(\theta)\,d\theta = a^2 \int \sec(\theta)\ (\sec^2(\theta) - 1)\,d\theta \\ & {} = a^2 \int (\sec^3(\theta) - \sec(\theta))\,d\theta. \end{align}

Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan

Polinomial tingkat pertama pada penyebut

Misalkan u = ax + b, maka du = a dx akan menjadikan integral
\int {1 \over ax+b}\,dx
menjadi
\int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int{du\over u}={1 \over a}\ln\left|u\right|+C = {1 \over a} \ln\left|ax+b\right|+C.
Contoh lain:
Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral
\int {1 \over (ax+b)^8}\,dx
akan berubah menjadi
\int {1 \over u^8}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du = {1 \over a} \cdot{u^{-7} \over(-7)}+C = {-1 \over 7au^7}+C = {-1 \over 7a(ax+b)^7}+C.

Integral Parsial

Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f '(x) dx dan dv = g'(x) dx, maka integral parsial menyatakan bahwa:
\int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx\!
atau dapat ditulis juga:
\int u\, dv=uv-\int v\, du\!

Sumber
In Category :
About The Author Ali Bajwa Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore. Magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat. Facebook and Twitter

0 komentar

Posting Komentar